ÁNGULOS.

ÁNGULOS.

Identificar la magnitud.

Un angulo se define como la abertura entre dos rectas y se denota por el símbolo

seguido de los puntos que conforman el segmento a su vértice.

En el sistema internacional se utiliza los de gradientes que dividen a una circunferencia en 360°

El sistema absoluto utiliza radianes que son la división de una circunferencia en 2pi radianes.

Para calcular el valor de uno o varios ángulos a partir de un esquema se debe encontrar la ecuación como muestra el siguiente ejemplo:

Ejercicio: 

• acomodas la ecuación así: x + 4x -15 + x = 90
• sumas las "x" 6x - 15 = 90
• el 15 esta restando, lo despejamos sumando; 6x = 90 + 15 
• haces la suma 6x = 105
• finalmente el 6 esta multiplicando lo despejamos dividiendo x = 105/6, divides y el valor de x= 17.5. 
• Sustituyes equis en tu ecuación inicial.
• 17.5 + 4(17.5) - 15 + 17.5 = 90°
• 17.5+ 70 - 15+17.5=90°
• 90°=90°

Vistas.

Vistas de Un Objeto.

Un objetivo (prisma) cuenta con principalmente con 6 caras que pueden representarse mediante proyecciones.

Ejemplo.

Ejercicio.

Realiza las seis vistas de la siguiente figura.

Solución.

Coordenadas y Aristas.

Coordenadas de un isométrico.

Las coordenadas permiten encontrar la medida de 2 aristas considerando la distancia entre dos puntos.

Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales (formando ángulos rectos) de un punto dado sobre cada uno de los ejes.

Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano o respecto a tres ejes (en el espacio, perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y de un punto se denominan abscisa y ordenada, respectivamente de dicho punto.

Ejemplo.

Ejercicio.

Encuentra las coordenadas del siguiente Isométrico.

Solución.

Distancia entre dos puntos.

¿Cómo calcular la distancia entre dos puntos?

Para calcular la distancia entre dos puntos se utiliza el teorema de Pitagoras utilizando el incremento en cada uno de los ejes.

Teorema de Pitagoras.

Ejemplo.

Ejercicio.

Encuentra la distancia entre los puntos p1 ( -6,2 ) y p2 ( 3,7 ). Haga la gráfica.

Solución.

 

Sistema Tridimensional.

Ubicar un punto en el espacio.

Para ubicar un punto en el espacio, se utiliza por convención, los ejes "x","y,"z"; en la siguiente posición.

Ejemplo.

Para representar un punto se realizan proyecciones como indica el siguiente ejemplo:

Ejercicio.

Ubica en un plano el siguiente punto con las coordenadas  x= -4  y= -4 z= 5 realiza sus respectivas proyecciones.

Solución.

Sistema tridimensional.

¿Qué es un sistema tridimensional?

Un sistema de tres dimensiones cuenta con 3 ejes perpendiculares entre si los cuales permiten ubicar un punto en ele espacio a través de triadas que permiten identificar la posición mediante proyecciones en  cada uno de los ejes los cuales forman octantes que son proyecciones en planos formados por ejes.  

Los octantes se colocan en sentido anti horario iniciando en la vista frontal del observador.

Ejemplo.

Ejercicio.

Realiza un plano tridimensional con los 8 octantes, y ubica un cubo de 5cm de arista el 1 octante.

Solución.

Isométrico

Isométricos a Escala.

En la Isométrica el coeficiente de reducción de las dimensiones . Al ser la reducción idéntica en los tres ejes el dibujo isométrico se realiza sin reducción, con las dimensiones paralelas a los ejes a escala 1:1 o escala natural, sin que cambie la apariencia del dibujo salvo en su tamaño. Esto permite tanto dibujar directamente estas dimensiones en el papel (lo que facilita el dibujo por coordenadas cartesianas como medir directamente en el dibujo las de un objeto. La apariencia del dibujo es idéntica aunque más grande, y las dimensiones que en la perspectiva correcta serían iguales a las reales (las paralelas al plano de proyección) son mayores.

La escala en que es mayor el Dibujo Isométrico respecto a la Perspectiva Isométrica es aproximadamente 1,22.

Ejemplo.

Ejercicio.

Realiza el isométrico a escala de 2:1 de la siguiente figura.

Solución.

Isométrico

Isométrico.

Un isométrico representa a un objeto en forma tridimensional utilizando proyecciones con una inclinación de 30° con respecto a la horizontal para conservar las medidas, ya sea a escala o con su valor real.

Ejemplo.

Ejercicio.

Representa un cubo de 4 cm de arista en un isométrico.

Proyecciones Isométricas.

Rotación.

Esta transformación sé realiza a partir de un punto de rotación, con un ángulo de rotación determinado se realiza en forma positiva en sentido anti  horario y negativa en sentido horario.

Ejemplo.

Ejercicio.

Realiza la transformación rotativa de la siguiente figura.

Solución.

Proyecciones Isométricas.

Simetría Central.

En esta transformación se realiza la imagen utilizando proyecciones de los puntos de la figura que converjan en un punto de simetría, trasladando las distancias con el compás.  

Ejemplo.

Ejercicio.

Realiza la transformación de simetría central de la siguiente figura.

Solución.

Proyecciones Isométricas.

Reflexión.

Es una representación de una figura original a otra llamada imagen utilizando una recta llamada eje de simetría utilizando rectas perpendiculares .

Ejemplo.

Ejercicio.

Realiza el movimiento de reflexión de un cuadrado cuyas coordenadas son:

a ( 1,4 )  b ( 3,0 )  c ( 7,2 )  d ( 5,6 )

Proyecciones Isométricas.

Proyecciones Isométricas.

Una proyección permite representar un isométrico (representación de un objeto sin alterar sus proporciones) utilizando diferentes transformaciones entre las cuales se encuentran:

• Traslación. Es el cambio de ubicación de los puntos de una figura plana en una misma dirección, sentido y longitud se puede representar el movimiento mediante flechas que reciben el nombre de vectores.

Ejemplo.

Ejercicio.

Realiza el movimiento de traslación de un triangulo cuyas coordenadas son:

a (-3,2)  b (1,2)  c (-2,1)

Tipos de proyecciones

Proyección Paralela Ortogonal.

Es aquella proyección en donde el observador se encuentra definida del plano de proyección, por lo tanto las lineas son paralelas.

Ejemplo.

Ejercicio.

Construya la doble proyección ortogonal de un tetraedro ABCD, sabiendo que sobre la

recta “m” se encuentra la altura O1D del poliedro, siendo O1 el centro de la cara ABC y D

más alto que éste último. La arista AB forma 45° con la traza vertical del plano que contiene

a la cara ABC (B a la derecha y de mayor cota que A). La altura del sólido es de 30mm.

Analice e indique la visibilidad del poliedro.

Tipos de Proyecciones.

Proyección Cónica Oblicua. 

Es aquella proyección en donde el observador y el plano de proyección se encuentran a diferente altura.

Ejemplo.

Ejercicio.

El observador se sitúa en el infinito, el plano de proyección está colocado de tal manera que los rayos inciden oblicuamente, dando origen a una diferencia de tamaño entre la proyección y el objeto.

Tipos de Proyecciones.

Proyección Cónica Ortogonal.

• Proyección cónica ortogonal. Es aquella proyección donde las lineas de proyección concurren en un punto central, y estas se representan en forma horizontal.

      Ejemplo.

Ejercicio.

Proyecciones.

Proyecciones.

Una proyección es la representación de un objeto tridimensional en una representación bidimensional.

Los elementos de una proyección son:

• Observador: Es el punto donde concurren los rayos de proyección y puede estar ubicado en cualquier parte del espacio, si tiene una distancia finita se conoce como centro de proyección y puede estar ubicado en cualquier parte del espacio.
• Plano de proyección: Es un plano colocado a una distancia arbitraria donde se representa la proyección del objeto.
• Objeto: Es el elemento a representar.
• Lineas de proyección: Son las rectas que unen el centro de proyección con los puntos del objeto y se proyectan en el plano.
• Proyección: Es la representación en ele plano del objeto en forma bidimensional.

Ejemplo.

¿Cómo representar un punto en forma bidimensional?

Para representar un punto en forma bidimensional en un plano se realiza una rotación de los planos en sentido horario de tal manera que los planos se empalmen de forma vertical.

Ejemplo.

La distancia horizontal recibe  el nombre de alejamiento y la vertical de cota.

Ejemplo.

Ejercicio.

Geometría Descriptiva.

Geometría Descriptiva.

La geometría descriptiva tiene por objeto la representación de las figuras del espacio en un plano bidimensional, valiéndose para ello de las llamadas proyecciones. Dependiendo de la proyección empleada tenemos los distintos sistemas de representación.

Por su parte la geometría descriptiva, se dedica a solucionar los problemas del espacio mediante operaciones que se desarrollan en un plano donde están representadas las figuras de los sólidos.